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主题: 重大发现：我终于知道lpspace是什么意思了。

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重大发现：我终于知道lpspace是什么意思了。

SeamusGOGOGO
[博客]

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标题: 重大发现：我终于知道lpspace是什么意思了。 (1982 reads) 时间: 2008-11-19 周三, 13:27

作者：SeamusGOGOGO 在海归酒吧发贴, 来自【海归网】 http://www.haiguinet.com

https://zh.wikipedia.org/wiki/Lp%E7%A9%BA%E9%97%B4
在数学中，Lp 空间是由p次可积函数组成的空间；对应的 ℓp 空间是由 p次可和序列组成的空间。它们有时叫做勒贝格空间，以亨利·勒贝格命名(Dunford & Schwartz 1958, III.3)，尽管依据 Bourbaki (1987) 它们是 Riesz (1910) 首先介入。在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了巴拿赫空间一类重要的例子。

Lp空间在工程学领域的有限元分析中有应用。

目录 [隐藏]
1 由来
2 特例
3 Lp空间的性质
3.1 嵌入
4 参见
5 注释
6 外部链接

[编辑] 由来

展示在不同的 p-范数下的单位圆。
在 p=3/2 范数下的单位圆(超椭圆)。考虑n维实向量空间 Rn。其中向量的加法由下式给出：

数乘为下式：

向量的长度通常如下定义：

但这不是定义长度的惟一方法。如果p 是一个实数， p≥1，对任意可定义：

。
这表明这种方式定义的长度函数仍然满足范数的三条性质：

长度为0的向量只有0向量；
向量的长度函数对数乘线性；
满足三角不等式（这由闵可夫斯基不等式保证）。
可以证明，对任意的p≥1， Rn以及上面的p范数就定义了一个巴拿赫空间。

[编辑] 特例
最重要的例子是 p = 2，比如空间，L2空间是希尔伯特空间，在傅立叶级数和量子力学以及其他领域有着重要的运用。

[编辑] Lp空间的性质
如果1 ≤ p ≤ ∞，那么闵可夫斯基不等式，可以用赫尔德不等式证明，建立了 L p(S)中的三角形不等式。利用勒贝格积分的收敛定理，可以证明L p(S)是完备的，从而是巴拿赫空间。（这里引入勒贝格积分很重要，而不能使用黎曼积分。）

[编辑] 嵌入
假设区域S具有有限测度, 以及 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞。那么由赫尔德不等式有如下限制：

从而，空间Lq 嵌入Lp。

由此可知，对区域S没有任何限制，嵌入

成立，这里右边的空间为S上的局部可积函数。

作者：SeamusGOGOGO 在海归酒吧发贴, 来自【海归网】 http://www.haiguinet.com

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